오일러각
직교축에 대한 회전각으로 강체의 지향을 정하는 것이 부적당하다면 그 대안은 무엇인가? 18세기의 수학의 거장이며 물리학에도 혁혁한 공적을 남긴 오일러(Leonard Euler)가 제안한 오일러각이라는 것이 있다.
이 것은 특별한 3축에 대한 회전각으로 정의되는데 서로 직교하는 축은 아니다. 이 오일러각으로 강체의 지향을 정하는 것이 물리적으로 가장 좋은 방법인데 이 회전각 묶음을 주면 유일하게 강체의 지향이 결정된다. 뿐만 아니라 이 변수는 강체의 운동방정식을 간단하게 세울 수 있다는 이점이 있다.
오일러각은 Φ(phi), θ(theta), Ψ(psi)로 부르는 세 각의 세트로 표시한다.
앞 강좌 (박스 그리기)에 보여 준 <표2>의 Rotation3D 클래스의 메쏘드 함수 48줄의 eulerAngles는 이 3개의 각, 즉 Φ(파이), θ(쎄타), Ψ(싸이, 또는 프싸이)를 인수로 주면 강체의 지향을 유일하게 결정해 주는 직교 회전 행렬 값을 돌려주는 함수이다.
이 튜토리얼에서는 이 함수를 주로 써서 강체의 지향과 회전운동을 기술할 것이다. 또 물리 모델이 도입되어 강체의 회전을 자연스레 기술하자면 역학 방정식을 풀어야 하고 그러기 위해서는 오일러 각을 쓸 수밖에 없다. 트위닝을 위하여는 쿼터니온이 쓰이기도 하지만 운동방정식을 풀기에는 부적당한 변수다. 오일러각이 유일한 대안이다. 앞 강좌 <표2>의 48줄의 수식은 복잡하므로 여기서는 생략하고 관심 있는 독자는 대학 2년차 이상의 역학 교과서를 참조할 것을 권한다.
아래의 플래시 무비는 오일러각을 설명하기 위해 만든 것이다. 스라이더를 움직이며 오일러각의 변동과 원테의 지향을 비교해 보기 바란다.
무비1 오일러각을 설명하기 위한 플래시 무비
스라이더를 움직이며 오일러각들이
강체의 지향을 어떻게 기술하나 이해할 수 있다.
이제 색채를 띤 원테를 강체로 잡고 오일러각을 설명하기로 한다. 이 원테에 붙어 있는 몸통 직교 자리표는 X축을 노랑색, Z축을 청회색(cyan)으로 표시해 보였다. 몸통 Y축은 그림이 혼잡해지는 것을 피하기 위해 생략한다. X-Z축이 결정되면 Y축은 오른손 나사법칙에 따라 유일하게 결정되기 때문이다.
그림1 오일러각 Φ은 공간 Z축에 대한 회전각이다.
그림2 마지막으로 몸통Z축(청회색)을 축으로 Ψ 만큼회전시킨다.
첫째 회전각은 공간 Z축에 대한 회전 각이다. 이 때 공간 X축과 겹쳐 있던 몸통 X축은 공간 X축과 Φ만큼 회전한다. <그림 1>이 이를 보여 주고 있다. 이 때 몸통 X축을 마디선이라 한다. 현재는 몸통 X축과 겹쳐 있지만 일반적으로는 몸통 X축과는 따로 떨어져 항상 공간 X-Y면에 놓이게 된다.(<그림3>참조) 여기서는 녹색으로 표시한다. 다음은 이 마디선을 축으로 하여 θ큼 회전시킨다. <그림2>가 이 결과를 보여 주고 있다. <그림2>가 보여 주듯 이젠 몸통 Z축은 공간 Z축과 분리되어 θ각을 이룬다.
그림3) 마디선을 축으로 하여 θ 각 회전시킨 결과.
마지막으로 Ψ는 이젠 겹침이 풀린 몸통 Z축을 중심으로 회전한 각이다. <그림3>이 이것을 보여 준다. 이때 마디선은 몸통 X축과 겹침이 풀려 그 모습을 드러내었다. 다시 한번 종합해 보면 마디선은 공간 X-Y평면과 몸통 X-Y평면이 교차하는 선이고 Φ는 이 마디선이 공간 X축과 이루는 각이다. 그리고 θ는 이 몸통 X-Y면이 공간 X-Y면과 이루는 각으로 몸통 Z축이 공간 Z축이 만드는 각이다. Ψ는 몸통 X축이 마디선과 이루는 각이다.
오일러각은 어떤 각을 먼저 변화시키건 상관없이 같은 직교변환행렬을 만들고 따라서 강체의 지향이 일의적으로
정해진다. 이 무비는 앞 강좌 <표2>의 Rotation3D 클래스의 줄 48에 정의된 메쏘드 함수 eulerAngles를 써서 제어한 것이다.
앞으로는 강체의 지향은 모두 이 오일러각을 써서 제어하기로 한다. 이 방법만이 강체의 지향을 일의적으로 정하
고 또 강체의 회전 운동을 가장 잘 기술할 수 있기 때문이다.